本节以Gauss波包的自由运动为例,说明时间演化计算.设初始时刻波包的归一化波函数为Gauss分布
\begin{equation}
    \psi(x,0)=(2\pi)^{-\frac{1}{4}} \sigma^{-\frac{1}{2}} \exp \left\{-\frac{\left(x-x_0\right)^2}{4\sigma^2}\right\}
\end{equation}
研究它在自由运动情况下随时间的演化.注意,此时Hamilton量$H=\frac{p^2}{2m}$并不含时,
成为含时问题纯粹由于初条件是叠加态的缘故.

第一步,将此$\psi(x,0)$展开为de Broglie平面波的叠加

\begin{equation}
    \psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \int_p \psi(p) \mathrm{e}^{i p x / \hbar} \mathrm{d} p
\end{equation}

其中
\begin{equation}
    \psi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \int_{x^{\prime}} \psi\left(x^{\prime},0\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p x^{\prime} / \hbar} \mathrm{d} x^{\prime}
\end{equation}

第二步,对上面展开式的每个平面波组分(它们都是自由粒子Schrödinger方程的定态解)添加时间因子
$\exp \left(-\mathrm{i} \frac{p^2t}{2m \hbar}\right)$,最后即得$\psi(x, t)$.就是说

\begin{align*}
    \psi(x, t) & =\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \int_p \psi(p) \exp \left\{\mathrm{i} \frac{p x}{\hbar}-\mathrm{i} \frac{p^2t}{2m \hbar}\right\} \mathrm{d} p_x                                                                              \\
               & =\frac{1}{2\pi \hbar} \int_{x^{\prime}} \int_p \psi\left(x^{\prime},0\right) \exp \left\{\mathrm{i} \frac{p\left(x-x^{\prime}\right)}{\hbar}-\mathrm{i} \frac{p^2t}{2m \hbar}\right\} \mathrm{d} p \mathrm{~d} x^{\prime}
\end{align*}

将$\psi\left(x^{\prime},0\right)$表达式代入,利用广义Gauss积分（也称广义Fresnel积分）
\begin{equation}
    \int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{i\alpha x^2}=\sqrt{\frac{i\pi}{\alpha}},
    \quad (\mathrm{Im}(\alpha)\ge 0)
\end{equation}

利用该公式完成对$p$和$x^{\prime}$积分,最后得到

\begin{align*}
    \psi(x, t) & =\sqrt[4]{\frac{1}{2\pi}} \sqrt{1/\left[\sigma\left(1+\frac{\mathrm{i} \hbar t}{2m \sigma^2}\right)\right]} \exp \left\{\frac{\mathrm{i} m\left(x-x_0\right)^2}{2\left(\hbar t-\mathrm{i}2m \sigma^2\right)}\right\}                       \\
               & =(2\pi)^{-1/4} \sigma(t)^{-1/2} \exp \left\{-\frac{\left(x-x_0\right)^2}{4\sigma(t)^2}+\mathrm{i} \frac{\hbar t\left(x-x_0\right)^2}{8m \sigma^2\sigma(t)^2}-\frac{\mathrm{i}}{2} \arctan \left(\frac{\hbar t}{2m \sigma^2}\right)\right\}
\end{align*}

这里
\begin{equation}
    \sigma(t) \equiv \sigma\left(1+\frac{\hbar^2t^2}{4m^2\sigma^4}\right)^{1/2} \geqslant \sigma
\end{equation}

相比较可得: $t=0$时刻峰高$\left(2\pi \sigma^2\right)^{-1/4}$峰宽$\sigma$的Gauss波包,
自由演化到$t$时刻变成峰高$\left[2\pi \sigma(t)^2\right]^{-1/4}$峰宽$\sigma(t)$的Gauss波包,
即波包弥散:
\begin{equation}
    \left\{\sigma,\left[2\pi \sigma^2\right]^{-1/4}\right\} \xrightarrow{\sigma \leqslant \sigma(t)}\left\{\sigma(t),\left[2\pi \sigma(t)^2\right]^{-1/4}\right\}
\end{equation}

说明自由演化中Gauss波包宽度逐渐加大,高度逐渐变矮,呈现"波包弥散"现象.
现象的物理根源是de Broglie波固有的色散性质:即便在真空中自由传播,
de Broglie波传播速度也与频率有关！这和光波在真空中传播时并无色散呈鲜明对照.

由于自由传播中de Broglie波存在色散,因此否定了把粒子纯粹看成某种波包的偏颇观念.
因为人们从未看见一个稳定的微观粒子逐渐变"胖"的现象.即便探测从宇宙深处经历长期飞行的粒子也未发现此种现象.
说明了不能用波动学说片面地取代波粒二象性;正如同不能按经典观念用粒子学说片面取代波粒二象性一样.

粒子处于演化状态时,位置和动量均方根的乘积随时间是增加的,
\begin{equation}
    \Delta x(0) \Delta p(0)=\frac{\hbar}{2} \Rightarrow \Delta x(t) \Delta p(t)=\frac{\hbar}{2} \sqrt{1+\frac{\hbar^2t^2}{4m^2\sigma^4}} \geqslant \frac{\hbar}{2}
\end{equation}

首先,这种不确定性是逐渐增加的.由于伴随自由演化的色散, $\Delta x(t)$不断增加,
但动量此时是守恒量,概率分布保持为初始分布不变 (这和谐振子情况不同).
其次,注意这种增加是不可逆的!由于$\sigma(t)$中所含时间$t$为平方$t^2$形式,
即便经受时间反演,不确定性仍然是增加的,不存在时间反演导致出现波包宽度收缩的物理过程!


\begin{note}
    \begin{enumerate}
        \item "波包弥散"的物理根源是de Broglie波的内禀色散性质.这种物理过程是不可逆的!
              就是说,物理上不存在逆向演化"波包收缩"过程.即自由演化是物理演化过程，但随时间增加，波包收缩过程
              不是物理过程.于是，这个时间反演可逆体系依旧严格遵守着时间流
              逝对过去-未来划分的绝对性！
        \item 可是，这个波包弥散的不可逆时间演化过程的确是时间反演可逆体系的
              一个纯态幺正演化、vonNeumanns熵保持为零的过程！换句话说，波包自由演化中
              的“波包弥散”，和常见的宏观论断“不可逆过程总是非幺正的、非纯态的、熵增加
              的、体系不具有时间反演不变性的”呈鲜明对照！
    \end{enumerate}
\end{note}